Théorème de la sommation d'Abel :
Soient \((a_k)_{k\geqslant0}\) et \((b_k)_{k\geqslant0}\) deux suites tq :
\((a_k)_{k\geqslant0}\) est une suite décroissante positive qui tend vers \(0\) ou elle est telle que \(\sum^{+\infty}_{n=1}\lvert a_n-a_{n-1}\rvert\) converge
Les sommes partielles de \((b_k)_{k\geqslant0}\) sont bornées : $$\exists M,\forall n\in{\Bbb N},\quad\lvert b_0+\ldots+b_n\rvert\leqslant M$$
Alors la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0} a_kb_k\) converge
Théorème de la sommation d'Abel :
\((a_k)_{k\geqslant0}\) et \((b_k)_{k\geqslant0}\) sont deux suites
\((a_k)\) est décroissante, positive et tend vers \(0\) OU elle est telle que \(\sum^{+\infty}_{k=1}\lvert a_k-a_{k-1}\rvert\) converge
les sommes partielles de \((b_k)\) sont bornées : $$\exists M,\forall n\in{\Bbb N},\qquad\lvert b_0+\dots+b_k\rvert\leqslant M$$
Corollaire du théorème de la sommation d'Abel :
Si \((a_n)_n\) est telle que \(\sum^{+\infty}_{n=1}\lvert a_n-a_{n-1}\rvert\) converge et \((b_n)_n\) est telle que \(\sum^{+\infty}_{n=1}b_n\) converge, alors on a : $${{\left|\sum^{+\infty}_{n=p+1}a_nb_n\right|}}\leqslant{{2a_pM}}$$